\(4\,{\rm{ctg}}\,\,2x + {\rm{ct}}{{\rm{g}}^2}2x-5 = 0.\)
Пусть \({\rm{ctg}}\,2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,R.\) Тогда уравнение примет вид:
\({t^2} + 4t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;\;\;}\\{t = -5.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,2x = 1,\,\,\,}\\{{\rm{ctg}}\,2x = -5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x = -{\rm{arcctg}}\,5 + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = -\dfrac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 + \dfrac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
Ответ: \(\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;-\dfrac{1}{2}{\rm{arcctg}}\,5 + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;k \in Z.\)