Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 29

ОТВЕТ: \(-\dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k;\quad \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\) 

\(3{\sin ^2}2x + 10\sin 2x + 3 = 0.\)

Пусть \(\sin 2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: 

\(3{t^2} + 10t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\dfrac{1}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{t = -3 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\sin 2x = -\dfrac{1}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = -\arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\;}\\{2x = \pi  + \arcsin \dfrac{1}{3} + 2\pi k\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;\;}\\{x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \(-\dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\arcsin \dfrac{1}{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)