Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 30

Задача 30. Решите уравнение: \(2{\cos ^2}3x-5\cos 3x-3 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\quad k \in Z.\)

Решение

\(2{\cos ^2}3x-5\cos 3x-3 = 0.\)

Пусть \(\cos 3x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид:

\(2{t^2}-5t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\dfrac{1}{2},\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{t = 3 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\cos 3x = -\dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \( \pm \dfrac{{2\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;\;k \in Z.\)