\({\rm{t}}{{\rm{g}}^3}\,x + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,x-3{\rm{tg}}\,x-3 = 0.\)
Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,t \in R.\) Тогда уравнение примет вид:
\({t^3} + {t^2}-3t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}\left( {t + 1} \right)-3\left( {t + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2}-3} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-3 = 0,}\\{t + 1 = 0\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \pm \sqrt 3 ,}\\{t = -1.\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = \pm \sqrt 3 ,}\\{{\rm{tg}}\,x = -1\,\,\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,}\\{x = -\frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;k \in Z.\)
Ответ: \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;-\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;k\, \in \,Z.\)