Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 2

ОТВЕТ: \(\, \pm \,\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

\(2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0.\)

Так как  \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то  \({\sin ^2}x = 1-{\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид:

\(2\left( {1-{{\cos }^2}x} \right) + 3\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2{\cos ^2}x-3\cos x-2 = 0.\)

Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда: 

\(2{t^2}-3t-2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = 2\,\, \notin \,\left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\cos x = -\dfrac{1}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\, \pm \,\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)