Задача 21. Решите уравнение: \({\cos ^2}x-{\sin ^2}x = -\dfrac{1}{2}\)
ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)Ответ
\({\cos ^2}x-{\sin ^2}x = -\dfrac{1}{2}\) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \(\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha -{\sin ^2}\alpha .\) \({\cos ^2}x-{\sin ^2}x = -\dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos 2x = -\dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) Ответ: \( \pm \dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)Решение