Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 26

ОТВЕТ: \(\, \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \,{\text{2}}\pi k;\quad k \in Z.\)

\(\cos 2x-3\cos x + 2 = 0.\)

Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x-1,\) то уравнение примет вид:

\(2{\cos ^2}x-1-3\cos x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x-3\cos x + 1 = 0.\)

Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: 

\(2{t^2}-3t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,\,\,}\\{t = \dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\,}\\{\cos x = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \(\, \pm \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \,{\rm{2}}\pi k;\quad k \in Z.\)