Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 27

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

\(2\cos 2x + 4\sqrt 3 \cos x-7 = 0.\)

Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha -1.\) Тогда уравнение примет вид:

\(2\left( {2{{\cos }^2}x-1} \right) + 4\sqrt 3 \cos x-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\cos ^2}x + 4\sqrt 3 \cos x-9 = 0.\)

Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда: 

\(4{t^2} + 4\sqrt 3 t-9 = 0;\;\;\;\;D = 16 \cdot 3 + 16 \cdot 9 = 16 \cdot 12;\;\;\;\;\sqrt D  = \sqrt {16 \cdot 12}  = 8\sqrt 3 \,;\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{-4\sqrt 3  + 8\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = \dfrac{{-4\sqrt 3 -8\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{-3\sqrt 3 }}{2} = -\dfrac{{\sqrt {27} }}{2} < -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = -\dfrac{{\sqrt {27} }}{2} \notin \,\left[ {-1;1} \right].\;}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \( \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)