Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 28

ОТВЕТ: \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

\(\cos 2x-5\sqrt 2 \cos x-5 = 0.\)

Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x-1,\) то уравнение примет вид:

\(2{\cos ^2}x-1-5\sqrt 2 \cos x-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x-5\sqrt 2 \cos x-6 = 0.\)

Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: 

\(2{t^2}-5\sqrt 2 t-6 = 0;\;\;\;\;D = 50 + 48 = 98;\;\;\;\;\sqrt D  = 7\sqrt 2 ;\)

\(\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{5\sqrt 2  + 7\sqrt 2 }}{4} = 3\sqrt 2  \notin \left[ {-1;1} \right],\,\,\,}\\{t = \dfrac{{5\sqrt 2 -7\sqrt 2 }}{4} = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\cos x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)