Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 29

ОТВЕТ: \(\pi k;\quad  \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

\(\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sqrt 2 \sin x.\)

Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2x} \right) = -\sin 2x.\;\)

Тогда уравнение примет вид:

\(-\sin 2x-\sqrt 2 \sin x = 0.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x + \sqrt 2 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2\cos x + \sqrt 2  = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x =  \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \(\pi k;\quad  \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)