Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 3

Задача 3. Решите уравнение: \(2{\sin ^2}x + 2\sin x + {\cos ^2}x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\,-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

Решение

\(2{\sin ^2}x + 2\sin x + {\cos ^2}x = 0\)

Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), то \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x\). Тогда уравнение примет вид:

\(2{\sin ^2}x + 2\sin x + 1-{\sin ^2}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x + 2\sin x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin x + 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin x = -1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\,-\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)