Задача 30. Решите уравнение:    \(\cos 2x-\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)-1 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z.\)

Решение

\(\cos 2x-\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)-1 = 0.\)

Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) = \sin x.\;\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\cos 2x-\sqrt 2 \sin x-1 = 0.\)

Так как \(\cos 2x = 1-2{\sin ^2}x,\)то уравнение примет вид:

\(1-2{\sin ^2}x-\sqrt 2 \sin x-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\sin x\left( {2\sin x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2\sin x + \sqrt 2  = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\,\;\,}\\{\sin x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \(-\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \pi k;\quad k \in Z.\)