\(2\cos 2x + 4\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}-x} \right) + 1 = 0.\)
Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}-x} \right) = -\sin x.\;\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2\cos 2x-4\sin x + 1 = 0.\)
Так как \(\cos 2x = 1-2{\sin ^2}x,\)то уравнение примет вид:
\(2-4{\sin ^2}x-4\sin x + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\sin ^2}x + 4\sin x-3 = 0.\)
Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид:
\(4{t^2} + 4t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = -\dfrac{3}{2} \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sin x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
Ответ: \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\;\,\,\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\;\,\,\;k \in Z.\)