\(2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos x.\)
Воспользуемся формулой синуса суммы:
\(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x + \sqrt 2 \sin x \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 \cos x \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}-\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x + \sin x + \cos x-\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x + \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\sin x = -\dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
Ответ: \(-\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\,\,\,\,\pi k;\quad k \in Z.\)