\(8{\sin ^2}\left( {\dfrac{{7\pi }}{{12}} + x} \right)-2\sqrt 3 \cos 2x = 5.\)
Воспользуемся формулой понижения степени: \({\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1-\cos 2\alpha }}{2}.\)
Тогда уравнение примет вид:
\(8 \cdot \dfrac{{1-\cos \left( {\dfrac{{7\pi }}{6} + 2x} \right)}}{2}-2\sqrt 3 \cos 2x = 5.\)
Воспользуемся формулой косинуса суммы:
\(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha .\)
Тогда уравнение примет вид:
\(4 \cdot \left( {1-\cos \dfrac{{7\pi }}{6}\cos 2x + \sin \dfrac{{7\pi }}{6}\sin 2x} \right)-2\sqrt 3 \cos 2x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;4 + 4 \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x-4 \cdot \dfrac{1}{2}\sin 2x-2\sqrt 3 \cos 2x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;4 + 2\sqrt 3 \cos 2x-2\sin 2x-2\sqrt 3 \cos 2x = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2\sin 2x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\sin 2x = -\dfrac{1}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{2x = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{{12}} + \pi k,\,\;\;}\\{x = -\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(-\dfrac{\pi }{{12}} + \pi k;\;\;\;-\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)