Задача 36. Решите уравнение:    \(\sqrt 2 \sin 2x + 4{\cos ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{8} + x} \right) = 2 + \sqrt 2 \)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)

Решение

\(\sqrt 2 \sin 2x + 4{\cos ^2}\left( {\dfrac{{3\pi }}{8} + x} \right) = 2 + \sqrt 2 .\)

Воспользуемся формулой понижения степени: \({\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}.\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sqrt 2 \sin 2x + 4 \cdot \dfrac{{1 + \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + 2x} \right)}}{2} = 2 + \sqrt 2 .\)

Воспользуемся формулой косинуса суммы:

 \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha .\)

Тогда уравнение примет вид:

\(\sqrt 2 \sin 2x + 2 + 2\left( {\cos \dfrac{{3\pi }}{4}\cos 2x-\sin \dfrac{{3\pi }}{4}\sin 2x} \right) = 2 + \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 2 \sin 2x-\sqrt 2 \cos 2x-\sqrt 2 \sin 2x = \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\sqrt 2 \cos 2x = \sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x = -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2x = \pi  + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\;\;\;k \in Z.\)