Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 39

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z.\)

\(2{\sin ^4}x + 3\cos 2x + 1 = 0.\)

Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha  = 1-2{\sin ^2}\alpha .\) Тогда уравнение примет вид:

\(2{\sin ^4}x + 3\left( {1-2{{\sin }^2}x} \right) + 1 = 0.\)

Пусть \({\sin ^2}x = t,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {0;1} \right]\). Тогда:

\(2{t^2} + 3\left( {1-2t} \right) + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;2{t^2}-6t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-3t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{t = 2\, \notin \,\left[ {0;1} \right].}\end{array}} \right.\)

Вернемся к прежней переменной:

\({\sin ^2}x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-{\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k;\quad k \in Z.\)