Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 4

Задача 4. Решите уравнение: \({\cos ^2}x + 2\sin x-2 = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Решение

\({\cos ^2}x + 2\sin x-2 = 0\)

Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), то \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x\). Тогда уравнение примет вид:

\(1-{\sin ^2}x + 2\sin x-2 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x-2\sin x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin x-1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin x-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin x = 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,\,\,\,k \in Z.\)