Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 40

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z.\)

\(4{\sin ^4}2x + 3\cos 4x-1 = 0.\)

Воспользуемся формулой \(\cos 2\alpha  = 1-2{\sin ^2}\alpha .\) Тогда уравнение примет вид:

\(4{\sin ^4}2x + 3\left( {1-2{{\sin }^2}2x} \right)-1 = 0.\)

Пусть \({\sin ^2}2x = t,\,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {0;1} \right].\) Тогда:

\(4{t^2} + 3\left( {1-2t} \right)-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2}-3t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = \dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Вернемся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\sin }^2}2x = 1,}\\{{{\sin }^2}2x = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-{{\sin }^2}2x = 0,}\\{\dfrac{{1-\cos 4x}}{2} = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}2x = 0,\;\;\;}\\{1-\cos 4x = 1\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,}\\{\,\cos 4x = 0\;}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k\;\;\;\;\;\;}\end{array} \Leftrightarrow \;} \right.\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{4},\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{4};\quad k \in Z.\)