Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. Задача 41

ОТВЕТ: \(2\pi k;\quad -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

\(\sin 2x = 2\sin x + \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) + 1.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x = 2\sin x + \sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) + 1.\)

Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = -\cos x.\;\)

Тогда уравнение примет вид:

\(2\sin x\cos x-2\sin x + \cos x-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x-1} \right) + \left( {\cos x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x-1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;}\\{\,\sin x = -\dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \(2\pi k;\quad -\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k;\quad -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)