\(\sin 2x + 2\cos \left( {x-\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 .\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\(2\sin x\cos x + 2\cos \left( {x-\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 .\)
Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {x-\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin x.\;\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2\sin x\cos x + 2\sin x = \sqrt 3 \cos x + \sqrt 3 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x + 2\sin x-\sqrt 3 \cos x-\sqrt 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x + 1} \right)-\sqrt 3 \left( {\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x-\sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x + 1 = 0,\;\;\;\;}\\{2\sin x-\sqrt 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -1,\;\;\;\;}\\{\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
Ответ:\(\pi + 2\pi k;\quad \dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\quad \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)