\(2{\cos ^2}x + 1 = 2\sqrt 2 \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}-x} \right).\)
Используя формулу приведения, получим: \(\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2}-x} \right) = -\sin x.\;\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2{\cos ^2}x + 1 = -2\sqrt 2 \sin x.\)
Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1-{\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид:
\(2-2{\sin ^2}x + 1 + 2\sqrt 2 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\sin ^2}x-2\sqrt 2 \sin x-3 = 0.\)
Пусть \(\sin x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{t^2}-2\sqrt 2 t-3 = 0;\;\;\;\;D = 8 + 24 = 32;\;\;\;\;\sqrt D = 4\sqrt 2 ;\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{2\sqrt 2 -4\sqrt 2 }}{4} = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \dfrac{{2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sin x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\\{x = -\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in z.\)
Ответ: \(-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\;\;\;-\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)