\(2{\sin ^2}x = 3\sqrt 2 \sin \left( {\dfrac{\pi }{2}-x} \right) + 4.\)
Используя формулу приведения, получим: \(\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}-x} \right) = \cos x.\;\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2{\sin ^2}x = 3\sqrt 2 \cos x + 4.\)
Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1-{\cos ^2}x.\) Уравнение примет вид:
\(2-2{\cos ^2}x-3\sqrt 2 \cos x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x + 3\sqrt 2 \cos x + 2 = 0.\)
Пусть \(\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{t^2} + 3\sqrt 2 t + 2 = 0;\;\;\;\,\;D = 18-16 = 2;\;\;\,\;\;\sqrt D = \sqrt 2 ;\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{-3\sqrt 2 + \sqrt 2 }}{4} = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\,\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \dfrac{{-3\sqrt 2 -\sqrt 2 }}{4} = -\sqrt 2 \notin \left[ {-1;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\cos x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
Ответ: \( \pm \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\;\;\;k \in Z.\)