Однородные тригонометрические уравнения. Задача 10

Задача 10. Решите уравнение: \(2\sin 6x-3\cos 6x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{6}{\text{arctg}}\,\dfrac{3}{2} + \dfrac{{\pi k}}{6};\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Решение

\(2\sin 6x-3\cos 6x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

\(2\sin 6x-3\cos 6x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{\rm{tg}}6x-3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}6x = \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,6x = {\rm{arctg}}\dfrac{3}{2} + \pi k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{6}{\rm{arctg}}\dfrac{3}{2} + \dfrac{{\pi k}}{6},\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(\dfrac{1}{6}{\rm{arctg}}\,\dfrac{3}{2} + \dfrac{{\pi k}}{6};\,\,\,\,\,k \in Z.\)