\(5{\sin ^2}x-14\sin x\cos x-3{\cos ^2}x = 2.\)
Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(2 = 2 \cdot 1 = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид:
\(5{\sin ^2}x-14\sin x\cos x-3{\cos ^2}x = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,3{\sin ^2}x-14\sin x\cos x-5{\cos ^2}x = 0\;.\)
Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
\(3{\sin ^2}x-14\sin x\cos x-5{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{\rm{tg}}{\,^2}x-14{\rm{tg}}\,x-5 = 0.\)
Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид:
\(3{t^2}-14t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5,\;}\\{t = -\dfrac{1}{3}.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 5\,,\;\,}\\{{\rm{tg}}\,x = -\dfrac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{arctg}}\,5 + \pi k,\;\;\;\,\;\;}\\{x = -{\rm{arctg}}\,\dfrac{1}{3} + \pi k,\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\)
Ответ: \({\rm{arctg}}\,{\rm{5 + }}\pi k;\quad -{\rm{arctg}}\dfrac{1}{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)