Однородные тригонометрические уравнения. Задача 24

ОТВЕТ: \({\text{arctg}}\,{\text{3}}\,{\text{ + }}\,\pi k;\;\;-\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\;k \in Z.\)

\(4{\sin ^2}x-2\sin x\cos x = 3.\)

Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(3 = 3 \cdot 1 = 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\) Тогда уравнение примет вид:

\(4{\sin ^2}x-2\sin x\cos x = 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x-2\sin x\cos x-3{\cos ^2}x = 0.\)

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

\({\sin ^2}x-2\sin x\cos x-3{\cos ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}{\,^2}x-2{\rm{tg}}\,x-3 = 0.\)

Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид:

\({t^2}-2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\,\,\;}\\{t = -1.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 3\,,\;\,}\\{{\rm{tg}}\,x = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{arctg}}\,3 + \pi k,}\\{x = -\dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \({\rm{arctg}}\,{\rm{3}}\,{\rm{ + }}\,\pi k;\;\;-\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\;k \in Z.\)