Однородные тригонометрические уравнения. Задача 27

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{2}{\text{arctg}}\,{\text{2 + }}\dfrac{{\pi k}}{2};\quad -\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)

\(3{\sin ^2}2x-2 = \sin 2x\cos 2x.\)

Так как \({\sin ^2}2x + {\cos ^2}2x = 1,\) то \(2 = 2 \cdot 1 = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right).\) Тогда уравнение примет вид:

\(3{\sin ^2}2x-2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = \sin 2x\cos 2x.\)

\({\sin ^2}2x-2{\cos ^2}2x = \sin 2x\cos 2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}{\,^2}\,2x-{\rm{tg}}\,2x-2 = 0.\)

Пусть \({\rm{tg}}\,2x = t,\,\,\,\,\,t\, \in R.\) Тогда уравнение примет вид:

\({t^2}-t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\,\,\;}\\{t = -1.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,2x = 2\,,\;\,}\\{{\rm{tg}}\,2x = -1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = {\rm{arctg}}\,2 + \pi k,}\\{2x = -\dfrac{\pi }{4} + \pi k\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,2 + \dfrac{{\pi k}}{2},}\\{x = -\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\;\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \(\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,{\rm{2 + }}\dfrac{{\pi k}}{2};\quad -\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2};\quad k \in Z.\)