\(\sqrt 3 \sin \left( {\pi -\dfrac{x}{3}} \right) + 3\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{x}{3}} \right) = 0.\)
Используя формулы приведения, получим: \(\sin \left( {\pi -\dfrac{x}{3}} \right) = \sin \dfrac{x}{3},\;\;\,\,\,\,\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{x}{3}} \right) = \cos \dfrac{x}{3}.\;\)
Тогда получим однородное тригонометрическое уравнение первой степени:
\(\sqrt 3 \sin \dfrac{x}{3} + 3\cos \dfrac{x}{3} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sqrt 3 {\rm{tg}}\dfrac{x}{3} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\dfrac{x}{3} = -\dfrac{3}{{\sqrt 3 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\dfrac{x}{3} = -\sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{3} = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\pi + 3\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(-\pi + 3\pi k;\quad k \in Z.\)