\({\sin ^3}x-7\sin x{\cos ^2}x-6{\cos ^3}x = 0.\)
Однородное тригонометрическое уравнение третьей степени:
\({\sin ^3}x-7\sin x{\cos ^2}x-6{\cos ^3}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{t}}{{\rm{g}}^3}x-7{\rm{tg}}\,x-6 = 0.\)
Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,R\). Тогда получим уравнение:
\({t^3}-7t-6 = 0.\)
Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-6\), то есть: \( \pm 1,\,\,\, \pm 2,\,\,\, \pm 3,\,\,\, \pm 6.\)
Подходит \(t = -1\). Разделим многочлен \({t^3}-7t-6\) на многочлен \(t + 1\):
Следовательно, многочлен \({t^3}-7t-6\) раскладывается на множители: \(\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2}-t-6} \right).\) Тогда:
\(\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2}-t-6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 1 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t^2}-t-6 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -1,}\\{t = -2,}\\{t = 3.\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = -1,}\\{{\rm{tg}}\,x = -2,}\\{{\rm{tg}}\,x = 3\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = -{\rm{arctg}}2 + \pi k,}\\{x = {\rm{arctg}}3 + \pi k,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(-\,{\rm{arctg}}\,2 + \pi k;\;\,\;{\rm{arctg}}\,{\rm{3}} + \pi k;\;\;\,-\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\;k \in Z.\)