Задача 34. Решите уравнение: \({\sin ^3}x + {\sin ^2}x\cos x-10\sin x{\cos ^2}x + 8{\cos ^3}x = 0\)
\({\sin ^3}x + {\sin ^2}x\cos x-10\sin x{\cos ^2}x + 8{\cos ^3}x = 0.\) Однородное тригонометрическое уравнение третьей степени: \({\sin ^3}x + {\sin ^2}x\cos x-10\sin x{\cos ^2}x + 8{\cos ^3}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{t}}{{\rm{g}}^3}x + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x-10{\rm{tg}}\,x + 8 = 0.\) Пусть \({\rm{tg}}\,x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,R\). Тогда получим уравнение: \({t^3} + {t^2}-10t + 8 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(8\), то есть: \( \pm 1,\,\,\, \pm 2,\,\,\, \pm 4,\,\,\, \pm 8.\) Подходит \(t = 1\). Разделим многочлен \({t^3} + {t^2}-10t + 8\) на многочлен \(t-1\): Следовательно, многочлен \({t^3} + {t^2}-10t + 8\) раскладывается на множители: \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2} + 2t-8} \right).\) Тогда: \(\left( {t-1} \right)\left( {{t^2} + 2t-8} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t-1 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t^2} + 2t-8 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\,\,\,\,\,}\\{t = 2,\,\,\,\,}\\{t = -4.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 1,\,\,\,}\\{{\rm{tg}}\,x = 2,\,\,}\\{{\rm{tg}}\,x = -4}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = {\rm{arctg}}2 + \pi k,\,\,\,}\\{x = -{\rm{arctg}}4 + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\) Ответ: \({\rm{arctg}}\,2 + \pi k;\;\;\,\;-{\rm{arctg}}\,4 + \pi k;\,\,\,\;\;\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\;\,\,\,\;k \in Z.\)