Однородные тригонометрические уравнения. Задача 37

ОТВЕТ: \(\pi  + 2\pi k;\quad \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)

\({\cos ^2}x-\dfrac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\({\cos ^2}x-\dfrac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x + \cos x = \sin x\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x + \cos x-\sin x\cos x-\sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {\cos x + 1} \right)-\sin x\left( {\cos x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos x-\sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -1,\;\;}\\{\sin x = \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -1,\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = 1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi  + 2\pi k,}\\{x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \(\pi  + 2\pi k;\quad \dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)