Однородные тригонометрические уравнения. Задача 38

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad -\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)

\(\dfrac{1}{2}\sin 2x + {\sin ^2}x-\sin x = \cos x.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(\dfrac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x + {\sin ^2}x-\sin x = \cos x\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{\sin ^2}x + \sin x\cos x-\sin x-\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)-\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sin x-1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\;\;\,\;\,\;\;\,\,}\\{\sin x = -\cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = -1\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;}\\{x = -\dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \(\dfrac{\pi }{2} + 2\pi k;\quad -\dfrac{\pi }{4} + \pi k;\quad k \in Z.\)