\(\sin 2x-2\sqrt 3 {\cos ^2}x-4\sin x + 4\sqrt 3 \cos x = 0.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\(2\sin x\cos x-2\sqrt 3 {\cos ^2}x-4\sin x + 4\sqrt 3 \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x\left( {\sin x-\sqrt 3 \cos x} \right)-4\left( {\sin x-\sqrt 3 \cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\sin x-\sqrt 3 \cos x} \right)\left( {2\cos x-4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x-\sqrt 3 \cos x = 0,}\\{2\cos x-4 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \sqrt 3 \cos x,}\\{\cos x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Уравнение \(\cos x = 2\) не имеет решений.
\(\sin x-\sqrt 3 \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\dfrac{\pi }{3} + \pi k;\quad k \in Z.\)