\(\sin 2x-2\sqrt 3 {\sin ^2}x + 4\cos x-4\sqrt 3 \sin x = 0.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\(2\sin x\cos x-2\sqrt 3 {\sin ^2}x + 4\cos x-4\sqrt 3 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\left( {\cos x-\sqrt 3 \sin x} \right) + 4\left( {\cos x-\sqrt 3 \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\cos x-\sqrt 3 \sin x} \right)\left( {2\sin x + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x-\sqrt 3 \sin x = 0,}\\{2\sin x + 4 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \sqrt 3 \sin x,}\\{\sin x = -2.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Уравнение \(\sin x = -2\) не имеет решений.
\(\sqrt 3 \sin x = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{6} + \pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Ответ: \(\dfrac{\pi }{6} + \pi k;\quad k \in Z.\)