Однородные тригонометрические уравнения. Задача 8

Задача 8. Решите уравнение: \(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{{15}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\quad \,k \in Z.\)

Решение

\(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

\(\sin 5x + \sqrt 3 \cos 5x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}5x + \sqrt 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}5x = -\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,5x = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -\dfrac{\pi }{{15}} + \dfrac{{\pi k}}{5},\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(-\dfrac{\pi }{{15}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\quad \,k \in Z.\)