Однородные тригонометрические уравнения. Задача 9

Задача 9. Решите уравнение: \(\sin 2x + 4\cos 2x = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\dfrac{1}{2}{\text{arctg}}\,{\text{4}} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Решение

\(\sin 2x + 4\cos 2x = 0.\)

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени:

\(\sin 2x + 4\cos 2x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}2x + 4 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}2x = -4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x = -{\rm{arctg}}4 + \pi k\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = -\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}4 + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ: \(-\dfrac{1}{2}{\rm{arctg}}\,{\rm{4}} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,k \in Z.\)