Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 1

Задача 1. Решите уравнение: \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

Решение

\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\cos \dfrac{\pi }{4} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{4} = 1.\)

Воспользуемся формулой \(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin \left( {\alpha + \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид:

\(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ: \(\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)