Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 12

ОТВЕТ: \(\dfrac{\pi }{2} + \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

\(4\sin x-3\cos x = 5.\)

Уравнение вида:  \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 4,\,\,\,\,b = -3,\;\;c = 5.\)

Разделим обе части исходного уравнения на  \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на  \(\sqrt {{4^2} + {{\left( {-3} \right)}^2}}  = 5.\)

\(\dfrac{4}{5}\sin x-\dfrac{3}{5}\cos x = 1.\)

Так как  \({\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} = 1,\)  то пусть  \(\cos \varphi  = \dfrac{4}{5},\,\,\,\sin \varphi  = \dfrac{3}{5}.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(\dfrac{4}{5}\sin x-\dfrac{3}{5}\cos x = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos \varphi \sin x-\sin \varphi \cos x = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin \left( {x-\varphi } \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x-\varphi  = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + \varphi  + 2\pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Так как  \(\sin \varphi  = \dfrac{3}{5},\)  то   \(\varphi  = \arcsin \dfrac{3}{5}\)  и  \(x = \dfrac{\pi }{2} + \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Ответ:  \(\dfrac{\pi }{2} + \arcsin \dfrac{3}{5} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)