Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 2

ОТВЕТ: \(\dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)

\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x-\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\cos \dfrac{\pi }{4}-\cos x\sin \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{1}{2}.\)

Воспользуемся формулой \(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta  = \sin \left( {\alpha -\beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид:

\(\sin \left( {x-\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,}\\{x-\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = \dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

Ответ:  \(\dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k;\quad \,\dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k;\quad k \in Z.\)