Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 3

ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x-\dfrac{1}{2}\sin x = 1.\)

Так как \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \dfrac{\pi }{6},\;\;\;\dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi }{6},\;\)то уравнение примет вид:

\(\cos \dfrac{\pi }{6}\cos x-\sin \dfrac{\pi }{6}\sin x = 1.\)

Воспользуемся формулой \(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta  = \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)\). Тогда:

\(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + \dfrac{\pi }{6} = 2\pi k\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)

Ответ:  \(-\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)