Уравнение вида a sin x + b cos x = c. Задача 7

ОТВЕТ: \(\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)

\(\sin x-\cos x = \sqrt 2 .\)

Уравнение вида:  \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = -1,\;\;c = \sqrt 2 .\)

Разделим обе части исходного уравнения на  \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на  \(\sqrt {{1^2} + {{\left( {-1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 .\)

\(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x-\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \dfrac{\pi }{4}\sin x-\sin \dfrac{\pi }{4}\cos x = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x-\dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x-\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Ответ:  \(\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k;\quad \,k \in Z.\)