Задача 4. Решите уравнение: \(\sin 2x-5\sin x-5\cos x = -3\dfrac{1}{4}\)
ОТВЕТ: \(\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4}-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)
\(\sin 2x-5\sin x-5\cos x = -3\dfrac{1}{4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;2\sin x\cos x-5\left( {\sin x + \cos x} \right) = -3\dfrac{1}{4}.\) Пусть \(\sin x + \cos x = t,\,\,\,\,t \in \left[ {-\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\) Возведём обе части этой замены в квадрат: \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,1 + 2\sin x\cos x = {t^2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\sin x\cos x = {t^2}-1.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-1-5t = -3\dfrac{1}{4}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{t^2}-5t + \dfrac{9}{4} = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \dfrac{9}{2} \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}.\) Получили уравнение вида: \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = 1,\;\;c = \dfrac{1}{2}.\) Разделим обе части последнего уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 .\) \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \dfrac{\pi }{4}\sin x + \sin \dfrac{\pi }{4}\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{\pi }{4} = \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{x + \dfrac{\pi }{4} = \pi -\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k\,\,}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\;\;\;\,\,\,}\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4}-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,}\end{array} \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.k\, \in \,Z.\) Ответ: \(\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}-\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4}-\arcsin \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} + 2\pi k;\;\;k \in Z.\)