Задача 2. Решите уравнение: \(2\sin 2x = \sin x-\sqrt 3 \cos x\)
ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k;\;\;\,\,\dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3};\,\,\,\,\,k \in Z.\)
\(2\sin 2x = \sin x-\sqrt 3 \cos x\left| {:2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x-\left( {\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right)\; = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x-\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}\sin x-\sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой синуса разности: \(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta = \sin \left( {\alpha -\beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 2x-\sin \left( {x-\dfrac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой разности синусов: \(\sin \alpha -\sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}.\) Уравнение примет вид: \(2\sin \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{3x-\dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \dfrac{{3x-\dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{3x-\dfrac{\pi }{3}}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,}\\{3x = \dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,}\\{x = \dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: \(-\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\;\,\,\dfrac{{4\pi }}{9} + \dfrac{{2\pi k}}{3},\;\;\;k\, \in \,Z.\)