Задача 3. Решите уравнение: \(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\)
ОТВЕТ: \(-\dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5};\;\,\,\,\;\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2};\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
\(2\sin 7x + \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 0\left| {:2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \dfrac{1}{2}\sin 3x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 7x + \cos \dfrac{\pi }{3}\sin 3x + \sin \dfrac{\pi }{3}\cos 3x = 0.\) Воспользуемся формулой синуса суммы: \(\cos \beta \sin \alpha + \sin \beta \cos \alpha = \sin \left( {\alpha + \beta } \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\sin 7x + \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\; = 0.\) Воспользуемся формулой суммы синусов: \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \dfrac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \dfrac{{\alpha -\beta }}{2}.\) Уравнение примет вид: \(2\sin \dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2}\cos \dfrac{{4x-\dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0,\;}\\{\cos \dfrac{{4x-\dfrac{\pi }{3}}}{2} = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{10x + \dfrac{\pi }{3}}}{2} = \pi k,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{4x-\dfrac{\pi }{3}}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + \pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x = -\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{4x = \dfrac{{4\pi }}{3} + 2\pi k\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5},}\\{x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: \(-\dfrac{\pi }{{30}} + \dfrac{{\pi k}}{5},\,\,\;\,\,\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{\pi k}}{2},\;\;\;k\, \in \,Z.\)