Задача 4. Решите уравнение: \(\sin 2x-10{\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{8}} \right) + 7 = 0\)
ОТВЕТ: \(\dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k;\;\;\,\,\,\dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k;\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
\(\sin 2x-10{\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{8}} \right) + 7 = 0.\) Воспользуемся формулами: \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\;\;{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1-\cos 2\alpha }}{2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x-10 \cdot \dfrac{{1-\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{2} + 7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x-5 + 5\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + 7 = 0.\) Воспользуемся формулой косинуса суммы: \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .\) Уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + 5\cos x\cos \dfrac{\pi }{4}-5\sin x\sin \dfrac{\pi }{4} + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x + \dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\cos x-\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\sin x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,4\sin x\cos x-5\sqrt 2 \left( {\sin x-\cos x} \right) + 4 = 0.\) Пусть \(\sin x-\cos x = t,\,\,\,\,\,t\, \in \,\left[ {-\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right].\) Тогда: \({t^2} = {\sin ^2}x-2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} = 1-2\sin x\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x\cos x = 1-{t^2}.\) Уравнение примет вид: \(2-2{t^2}-5\sqrt 2 t + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{t^2} + 5\sqrt 2 t-6 = 0;\;\;\;\;D = 50 + 48 = 98;\;\;\;\;\sqrt D = 7\sqrt 2 ;\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{-5\sqrt 2 -7\sqrt 2 }}{4} = -3\sqrt 3 \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right],\,\,\,}\\{t = \dfrac{{-5\sqrt 2 + 7\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x-\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Уравнение вида: \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = 1,\,\,\,\,b = -1,\;\;c = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Разделим обе части последнего уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \). \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x-\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \dfrac{\pi }{4}\sin x-\sin \dfrac{\pi }{4}\cos x = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x-\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{x-\dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k\, \in \,Z.\) Ответ: \(\dfrac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi k,\,\,\;\,\,\dfrac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;\;\;k\, \in \,Z.\)