\({\rm{ctg}}\dfrac{{\pi \left( {2x + 3} \right)}}{2} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{\pi \left( {2x + 3} \right)}}{2} = \dfrac{\pi }{4} + \pi k\left| { \cdot 2} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\pi \left( {2x + 3} \right) = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k\left| {:\pi } \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x + 3 = \dfrac{1}{2} + 2k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = -\dfrac{5}{2} + 2k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = -1,25 + k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Рассмотрим \(x = -1,25 + k,\,\,\,\,k\, \in \,Z\). Если \(k = 2\), то \(x = 0,75\); если \(k = 1\), то \(x = -0,25.\)
Следовательно, наименьший положительный корень \(x = 0,75.\)
Ответ: \(0,75.\)