Отбор корней тригонометрических уравнений. Задача 12

Задача 12. Найдите количество корней уравнения \(\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,-\pi ;\,\pi } \right].\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

\(\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,}\\{x = -\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)

Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\pi ;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(-\dfrac{\pi }{4}\) и \(\dfrac{\pi }{4}.\) Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 2 корня.

Ответ: 2.