Задача 13. Найдите количество корней уравнения \(\sin 2x = -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\), принадлежащих промежутку \(\left[ {\,\dfrac{\pi }{2};\,2\pi } \right].\)
Решение
\(\sin 2x = -\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = -\dfrac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,}\\{2x = -\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\dfrac{\pi }{6} + \pi k,}\\{x = -\dfrac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения \(x = -\dfrac{\pi }{6} + \pi = \dfrac{{5\pi }}{6},\) \(x = -\dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{11\pi }}{6},\) \(x = -\dfrac{\pi }{3} + \pi = \dfrac{{2\pi }}{3}\) и \(x = -\dfrac{\pi }{3} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{3}.\) Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 4 корня.
Ответ: 4.