\({\rm{tg}}\,x = \sqrt 3 \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};3\pi } \right].\)
Если \(k \le -1,\) то \(x \le -\dfrac{{2\pi }}{3} < \dfrac{\pi }{6},\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};3\pi } \right].\) нет.
Если \(k = 0,\) то \(x = \dfrac{\pi }{3} \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};3\pi } \right].\)
Если \(k = 1,\) то \(x = \dfrac{{4\pi }}{3} \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};3\pi } \right].\)
Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{7\pi }}{3} \in \left[ {\dfrac{\pi }{6};3\pi } \right].\)
Если \(k \ge 3,\) то \(x \ge \dfrac{{10\pi }}{3} > 3\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\dfrac{\pi }{6};3\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 3 корня.
Ответ: 3.