\({\rm{ctg}}\,2x = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2x = \dfrac{\pi }{4} + \pi k\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,k \in Z.\)
Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k \le 1,\) то \(x \le \dfrac{{5\pi }}{8} < \pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\pi ;4\pi } \right]\) нет.
Если \(k = 2,\) то \(x = \dfrac{{9\pi }}{8} \in \left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k = 3,\) то \(x = \dfrac{{13\pi }}{8} \in \left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k = 4,\) то \(x = \dfrac{{17\pi }}{8} \in \left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k = 5,\) то \(x = \dfrac{{21\pi }}{8} \in \left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k = 6,\) то \(x = \dfrac{{25\pi }}{8} \in \left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k = 7,\) то \(x = \dfrac{{29\pi }}{8} \in \left[ {\pi ;4\pi } \right].\)
Если \(k \ge 8,\) то \(x \ge \dfrac{{33\pi }}{8} > 4\pi ,\) поэтому при таких \(k\) решений на отрезке \(\left[ {\pi ;4\pi } \right]\) нет.
Таким образом, исходное уравнение на заданном промежутке имеет 6 корней.
Ответ: 6.